つーさのくーかん

今日考えたこと。
繰り返しコイントスを行う場面において、初めて裏が出るまでの回数の期待値。

　　lim[n→∞] Σ[k=1→n](k/2^k) かな。

  lim[n→∞]{ Σ[k=1→n](k/2^k) }

  Sn = Σ[k=1→n](k/2^k) とすると、
  Sn = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + ... + n/2^n

  r=1/2 とおいて

     Sn = 1r+2r^2+3r^3+4r^4+5r^5+ ... + nr^n
-)  rSn =    1r^2+2r^3+3r^4+4r^5+ ... + (n-1)r^n + nr^(n+1)
------------------------------------------------------------
(1-r)Sn =  r+r^2+r^3+r^4+ ... +r^n - nr^(n+1)

ここで
  r+r^2+r^3+...+r^n = r(1-r^n)/1-r 
            = 1/2{1-(1/2)^n}/(1/2) = 1-(1/2)^n  より

  (1-r)Sn = 1 - (1/2)^n - n(1/2)^(n+1)

　　　両辺 (1-r)=1/2 で割る

  Sn = 2 - (1/2)^(n-1) - n(1/2)^n
  lim[n→∞]{ 2 - (1/2)^(n-1) - n(1/2)^n } = 2 - 0 - 0 = 2

　　　よって、求める期待値は 2[回]

か……？

綺麗な数字にまとまると、逆に怖くなる(nazo